4. gyakorlat

Valószínűségi változók (elméleti összefoglaló):

Eloszlásfüggvény:

Ismert, hogy

·

·

Sűrűségfüggvény:

Ismert, hogy:

· „Súlypontja” a várható érték

Számítási módok:

· Várható érték:

· Variancia (szórásnégyzet):

· Steiner tétel:

Azonos eloszlású, független valószínűségi változók összegzésekor mind a várható érték, mind a variancia összegződik:

Azonos eloszlású, független valószínűségi változók átlagolásakor a várható érték változatlan marad, míg mind a variancia N-ed részére csökken:

Konfidenciaszámítás

Várható értéket szeretnénk becsülni. Két eset lehetséges: ismert és ismeretlen variancia

Mérési eredményeink:

Várható érték becslő:

Várható érték becslése ismert variancia esetén:

Szimmetrikus konfidenciával megadva:

ahol µ a valódi várható érték, σ az egyes mért értékek szórása, p a kívánt konfidencia, valamint z_k az a változó, amelytől végtelenig a standard normális eloszlás improprius integráljának értéke k. Például 90%-os szimmetrikus konfidenciával számolva:

Várható érték becslése ismeretlen variancia esetén:

Amennyiben a variancia nem ismert, azt is becsülnünk kell. Erre szolgál a tapasztalati szórásnégyzet:

Szimmetrikus konfidenciával megadva – feltéve hogy normális eloszlású:

ahol t változó N–1-edfokú Student-eloszlást követ. A változó második argumentuma ugyanúgy értelmezendő, mint az ismert varianciájú esetben.

4. gyakorlat segédlet

Példák:

· 3.1

· 3.2

· 3.3

· 3.10

· 3.24

· 3.11